在讲算法之前，我们先来思考一个问题：小明有n个编号为1~n的篮子，每个篮子里装有ai个苹果，求从 x至y 的篮子里的苹果数量之和。

如果没学过前缀和的同学，可能会打出这样的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{

	int n,x,y,l[101],ans=0,i;
	cin>>n>>x>>y;
	
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>l[i];
		if(i>=x&&i<=y)
			ans += l[i];
	}

	cout<<ans;

	return 0;
}

这种算法要得出一个区间之和，这题只需要取一次区间值，时间复杂度需要 O(n)，但如果 2 次，4 次，1000 次，数据再一大，暴力算法肯定会超时的，这时，前缀和的优势就体现出来了，因为它取区间之和，只需要 O(1)。

那前缀和的思想是什么呢？又是如何实现用 O(1) 取区间之和的呢？其思想就是遍历 1 至 n ，算出 1 至当前数字的区间之和，有人或许会问了，那这样也无法算出特定区间之和啊，但我们观察后发现，在累加数组，前缀为右顶点的数字包含了前缀为左顶点的数字，通过用累加数组中的右顶点减去总顶点，再加上初始数组前缀为左顶点的值，可以得到：求 x 至 y 区间之和为：s[y]-s[x-1]（s为累加数组）

（一）前缀和算法

前缀和的基本代码:

概念：前缀和就是数组的前 i 项之和

一维前缀和

记原数组为a[n]，前缀和数组为 s[n] 。那么 s[i] 内存储的内容为 a[1] ~ a[i-1] 的和。

b[1] = a[1];
b[2] = a[1] + a[2];
b[3] = a[1] + a[2] + a[3];
b[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4];
b[5] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5];

因此，结合for循环，前缀和的基本代码是：

b[0] = 0; //当b数组为全局变量数组是，此句可以省略 
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	cin>>a[i];
	b[i] = a[i] + b[i-1];
}

//求从第x项目到第y项之和
cout<<b[y]-b[x-1]; 

知识与要点

前缀和不一定是和，也可以是前缀积......

前缀和是一种预处理算法，能大大降低时间复杂度，特别适合于很多次查询(问题)的情况。

前缀和的操作对象主要是数组。

前缀和主要是计算之前数组元素的值之和。在解决区域问题时，可以减少遍历操作，减少时间复杂度。