一、位运算

我们都知道数据是以二进制形式存储在计算机中的。当我们使用十进制数进行编程时（如a=10）实际上计算机要先进行一步转码，将其化为二进制的形式进行计算。如果在编程的过程中我们可以直接越过转码这一步去操纵二进制形式进行运算，程序运行速度就会变得更快。

位运算的基本符号：

1. &（按位与） —— 左右两边都是1，答案就是1.（与条件&&的判定是一致的）

0&1 =0;

0&0 =0;

1&0 =0;

1&1 = 1;

7&28 = 4 ( 00111 & 11100 = 00100 )

&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 &1的结果就是取二进制的最末位。

这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数是偶数，最末位为1表示该数为奇数。

2. |（按位或） —— 左右两边有1，答案就是1（与条件||的判定是一致的）

0|0=0;

0|1=1;

1|0=1;

1|1=1;

7|28=31 ( 00111 | 11100 = 11111 )

|运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数|1的结果就是把二进制最末位强行变为1。

如果需要把二进制最末位变成0，对这个数|1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最近接的偶数。

3. ^（按位异或） —— 左右两边相同为0，不同为1

0^1=1；

1^0=1；

1^1=0；

0^0=0；

7^28 = 27 ( 00111 ^ 11100 = 11011 )

^运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，^运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a^b)^b=a；

^运算可以用于简单的加密，

比如原始值int a = 19880516; 密钥 int key =1314520;

进行加密 int data = key^a = 20665500;解密 data^key == a；

^运算还可以实现两个值的交换而不需要中间变量。

4. ~（取反） —— ~运算的定义把内存中的0和1全部取反，所以~运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没符号，如果~的对象是无符号整数（不能表示负数），那么他的值就是它与它的上界限的之差。（参考之前的原码、反码、补码）

5. 位移运算：

<<运算（左移运算）

a<<b 表示把a转为二进制后左移b位（在后面添加 b个0）。

例如100的二进制表示为1100100，100左移2位后（后面加2个零）：

1100100<<2 =110010000 =400；

可以看出，a<<b的值实际上就是a乘以2的b次方（即左移几次乘几次2），因为在二进制数后面添加一个0就相当该数乘以2，2个零即2的2次方等于4。通常认为a<<1比a*2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作尽量用左移一位来代替。

6. >>运算（右移运算）

和 << 相似，a >> b表示二进制右移 b 位（去掉末 b 位）。

相当于a除以2的b次方（取整）（即右移几次除以几次2，取整数）。我们经常用>>1来代替/2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用>>代替除法运算可以使程序的效率大大提高，效率可以提高60%。

int a =100;

a/4 == a>>2;

二、01枚举（二进制枚举）

二进制枚举是枚举算法中的一种特例，其主要运用在求某一集合的子集个数这一算法中。其基本概念就是利用二进制数中的1与0代表选择与否，其中1代表选，0代表不选。

例一：给定集合A = {2,3,4}，求A的子集，并将它们全部输出出来。

思路：

1. 对于有N个元素的集个它的子集个数为2^N-1个（不含空集），即我们需要遍历这情况。而2^n可以表示为 1 << n。

2. 在子集中，可以用0 1代表是否选择某一个元素，其中0代表不选，1代表选。例如选择了{2}这个元素，这种选法可记为100，图示：

这样，集合的所有子集的选择情况就可表示为

即每个子集的选择情况可用一个二进制数来表示。

3. 现在要做的就是把每种情况（二进制数）中1对应的元素添加到子集里，如情况5（101）即输出{2，4}，所以：

a. 定义变量s = 1，让它不断的与当前情况i做i&s，若其值为1则将当前位对应的元素添加到子集里

b. s左移一位，与i的下一位做比较。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int a[3]= {2,3,4};
int main() {
	//子集的个数
	for(int i=1; i<8; i++) {
		//保存当前子集的二进制编号	
		int k = i;
	
		//遍历数组
	
		for(int j = 0 ; j<3;j++){
		//若子集二进制当前位为1
			if(k&1) {
				cout<<a[j]<<" ";	
			}
	
			//查找下一位
			k>>=1;
		}
	
		cout<<endl;
	
	}
	return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[25],b[25],c[10005],n,m,sum,t,y;
int main()
{	
	cin>>n>>m;	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];

	for(int i=1;i<=pow(2,n);i++)
	{
		for(int i=n;i>=1;i--)	
		{
	
			if(b[i]==0)
				b[i]=1;
			else
			{	
				b[i]=0;
				break;
			}	
		}
	}
	
	for(int i=n;i>=1;i--)	
	{
		if(b[i]==1)
			cout<a[j];  
	}
	
	return 0;

}