一、简介

广度优先搜索算法（Breadth-First Search，BFS）是一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。

二、例子

假设你居住在旧金山，要从双子峰前往金门大桥。你想乘公交车前往，并希望换乘最少。可乘坐的公交车如下。

要找出换乘最少的乘车路线，你将使用什么样的算法？

一步就能到达金门大桥吗？下面突出了所有一步就能到达的地方。

金门大桥未突出，因此一步无法到达那里。两步能吗？

金门大桥也未突出，因此两步也到不了。三步呢？

金门大桥突出了！因此从双子峰出发，可沿下面的路线三步到达金门大桥。

还有其他前往金门大桥的路线，但它们更远（需要四步）。这个算法发现，前往金门大桥的最短路径需要三步。这种问题被称为最短路径问题（shorterst-path problem）。你经常要找出最短路径，这可能是前往朋友家的最短路径，也可能是国际象棋中把对方将死的最少步数。解决最短路径问题的算法被称为广度优先搜索。要确定如何从双子峰前往金门大桥，需要两个步骤。

(1) 使用图来建立问题模型。

(2) 使用广度优先搜索解决问题。

三、广度优先搜索算法

假设你经营着一个芒果农场，需要寻找芒果销售商，以便将芒果卖给他。在Facebook，你与芒果销售商有联系吗？为此，你可在朋友中查找。

这种查找很简单。首先，创建一个朋友名单。

然后，依次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果销售商。

假设你没有朋友是芒果销售商，那么你就必须在朋友的朋友中查找。

检查名单中的每个人时，你都将其朋友加入名单。

这样一来，你不仅在朋友中查找，还在朋友的朋友中查找。别忘了，你的目标是在你的人际关系网中找到一位芒果销售商。因此，如果Alice不是芒果销售商，就将其朋友也加入到名单中。这意味着你将在她的朋友、朋友的朋友等中查找。使用这种算法将搜遍你的整个人际关系网，直到找到芒果销售商。这就是广度优先搜索算法。

四、查找最短路径

再说一次，广度优先搜索可回答两类问题。

第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？（在你的人际关系网中，有芒果销售商吗？）

第二类问题：从节点A出发，前往节点B的哪条路径最短？（哪个芒果销售商与你的关系最近？）

刚才你看到了如何回答第一类问题，下面来尝试回答第二类问题——谁是关系最近的芒果销售商。例如，朋友是一度关系，朋友的朋友是二度关系。

在你看来，一度关系胜过二度关系，二度关系胜过三度关系，以此类推。因此，你应先在一度关系中搜索，确定其中没有芒果销售商后，才在二度关系中搜索。广度优先搜索就是这样做的！在广度优先搜索的执行过程中，搜索范围从起点开始逐渐向外延伸，即先检查一度关系，再检查二度关系。顺便问一句：将先检查Claire还是Anuj呢？Claire是一度关系，而Anuj是二度关系，因此将先检查Claire，后检查Anuj。

你也可以这样看，一度关系在二度关系之前加入查找名单。

你按顺序依次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果销售商。这将先在一度关系中查找，再在二度关系中查找，因此找到的是关系最近的芒果销售商。广度优先搜索不仅查找从A到B的路径，而且找到的是最短的路径。

注意，只有按添加顺序查找时，才能实现这样的目的。换句话说，如果Claire先于Anuj加入名单，就需要先检查Claire，再检查Anuj。如果Claire和Anuj都是芒果销售商，而你先检查Anuj再检查Claire，结果将如何呢？找到的芒果销售商并非是与你关系最近的，因为Anuj是你朋友的朋友，而Claire是你的朋友。因此，你需要按添加顺序进行检查。有一个可实现这种目的的数据结构，那就是队列（queue）。

五、队列

队列是一种特殊的线性表，特殊之处在于它只允许在表的前端（front）进行删除操作，而在表的后端（rear）进行插入操作，和栈一样，队列是一种操作受限制的线性表。进行插入操作的端称为队尾，进行删除操作的端称为队头。队列中没有元素时，称为空队列。

队列的数据元素又称为队列元素。在队列中插入一个队列元素称为入队，从队列中删除一个队列元素称为出队。因为队列只允许在一端插入，在另一端删除，所以只有最早进入队列的元素才能最先从队列中删除，故队列又称为先进先出（FIFO—first in first out）线性表。

其中，C++提供了队列（queue）的容器可以直接使用：

#include<queue> //头文件

queue<int> a; //定义了一个整型队列a

a.empty(); //判断队列是否为空

a.size(); //返回队列的长度

a.pop(); //删除队列第一个元素

a.push(5); //把5放进队列当中

a.front(); //获取队列第一个元素的值

a.back(); //获取队列最后一个元素的值

六、广度优先搜索算法实现

我们要从“你”出发找到“ANUJ”，关系表示为下图，使用广度优先搜索算法。

先概述一下这种算法的工作原理。

但这样可能会出现一些问题，Peggy既是Alice的朋友又是Bob的朋友，因此她将被加入队列两次：一次是在添加Alice的朋友时，另一次是在添加Bob的朋友时。因此，搜索队列将包含两个Peggy。

但你只需检查Peggy一次，看她是不是芒果销售商。如果你检查两次，就做了无用功。因此，检查完一个人后，应将其标记为已检查，且不再检查他。

如果不这样做，就可能会导致无限循环。假设你的人际关系网类似于下面这样。

一开始，搜索队列包含你的所有邻居。

现在你检查Peggy。她不是芒果销售商，因此你将其所有邻居都加入搜索队列。

接下来，你检查自己。你不是芒果销售商，因此你将你的所有邻居都加入搜索队列。

以此类推。这将形成无限循环，因为搜索队列将在包含你和包含Peggy之间反复切换。

检查一个人之前，要确认之前没检查过他，这很重要。为此，你可使用一个列表来记录检查过的人。

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
queue<int>a,b,c;
int aa[220];
int ans=-1,n,m;
int x,y,d[220],q,p;
void bfs(int x)
{
	d[x]=1;
	a.push(x);
	c.push(1);
	int wx,wy,wz;
	while(!a.empty())
	{
		wx=a.front();
		a.pop();
		wz=c.front();
		c.pop();
		int nx= wx + aa[wx];
		if(nx==p)
		{
			ans=wz;
			return ;
		}
		
		if(nx>=1&&nx<=n&&d[nx]==0)
			a.push(wz+1);
    		
		nx=wx-aa[wx];
		
		if(nx==p)
		{
		    ans=wz;
		    return ;
		}
		
		if(nx>=1&&nx<=n&&d[nx]==0)
		{
			a.push(nx);
			d[nx]=1;
			c.push(wz+1);
		}
	}
}

int main()
{

	cin>>n>>q>>p;
	
	if(q==p)
	{
		cout<<0;
		return 0;
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)	
		cin>>aa[i];
	
	bfs(q);
	
	cout<<ans;
	
	return 0;

}