(一)对数

对数的概念:

一般地，如果 $a^x= N ( a \gt 0,a \ne 1)$，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作: $x=\log N$ ( $a$ 称为底数，$N$ 称为真数，$\log N$- 对数式)

说明:

1. 注意底数的限制 $a \gt 0$，且 $a \ne 1$;

2. $a^x=N \iff \log _a N=x$;

3. 注意对数的书写格式.

两个重要对数:

1. 常用对数: 以 10 为底的对数 $\lg N$;

2. 自然对数:以无理数 $e=2.71828...$ 为底的对数的对数 $\ln N$

(二)对数的重要公式

如果 $a \gt 0$，且 $a \ne 1，M \gt 0，N \gt 0$，那么:

1. $\log _a (M \times N) = \log _a M + \log _a N$
2. $\log _a (\frac M N) = \log _a M - \log _a N$;
3. $\log _a M^n = n \log _a M$ ($n \in R$)

利用换底公式推导下面的结论

(1) $\log _{a^m} b^n= \frac n m \log _a b$

(2) $log _a b = \frac 1 {\log _b a}$

（三）对数函数

对数函数的概念

函数 $y=\log _a x$ ( $a \gt 0$，且 $a \ne 1$)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ($0$，$+ \infty$ )

注意:

(1) 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如: $y=2 \log _2 x$，$y= \log _5 \frac x 5$ 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数

(2) 对数函数对底数的限制: ($a \gt 0$，且 $a \ne 1$).

对数函数的性质

（1）如果 $a \gt 1$

值域为 $R$ (全体实数)

函数为递增函数，如果有 $x_2 \gt x_1$ ，必有 $\log _a x_2 \gt \log _a x_1$

函数图像必定经过 ($1$,$0$)，也就是说 $\log _a 1 = 0$

（2）如果 $0 \lt a \lt 1$

值域为 $R$ (全体实数)

函数为递减函数，如果有 $x_2 \lt x_1$ ，必有 $\log _a x_2 \gt \log _a x_1$

函数图像必定经过 ($1$,$0$)，也就是说 $\log _a 1 = 0$