题目描述

设有由 $n$ 个 (可能有相同) 的整数组成的数列，记为: {$a_1$、$a_2$、...、$a_n$} 。

例如 {3，18，7，14，10，12，23，41，16，24}。若存在 $i_1 \lt i_2 \lt i_3 \lt \dots \lt i_e$ 且有 $a_{i_1} \le a_{i_2} \le ... \le a_{i_e}$ 则称为长度为 $e$ 的不下降子序列。

如上例中 {3，18，23，24} 就是一个长度为 $4$ 的上升序列，同时也是 {3，7，10，12，16，24} 长度为 $6$ 的不下降子序列。

程序要求，当原数列给出之后，求出最长的不下降子序列的长度。

输入格式

第一行为 $n$，表示 $n$ 个数（$10 \le n \le 100000$）

第二行 $n$ 个整数，数值之间用一个空格分隔（$-10^9 \le a_i \le 10^9$）

输出格式

一个整数，代表最长不下降子序列的长度。

数据样例

3
1 2 3

3

7
1 3 7 7 11 8 10

5

题目分析

朴素的思想是：

$dp[i] = max_{j=1}^{j<i}(dp[j]+1)$ ，通过要求每一个 $a_j \le a_i$

for(int i=1;i<=n;i++){
	dp[i] = 1;
	for(int j=1; j<i ;j++){
		if(a[j]<=a[i])
			dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
	}
	ans = max(ans, dp[i]);
}

这个算法的时间复杂度为 O($n^2$)，而本题的 $n$ 最大可能到 $10^5$，因此，O($n^2$) 就一定超时了。

可以基于树状数组，找到 i 前面的 dp[j] 最大值。找最大值的时候，要满足几个条件：

1. j 一定是在 i 前面( i<j )
2. a[j] <= a[i]
3. 找 dp[j] 的最大值要效率高

完善程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(i) ((-i)&i)
int n,c[100001],ans,dp[100001];

struct Num{
	int num,pos;
	bool operator < (const Num &other ) const {
		return this->num<other.num ||(this->num==other.num && this->pos __填空(1)__ other.pos);
	}
}a[100001];

int query(int x){ // 查询 c[1] 到 c[x] 的最大值
	int ret = 0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
		if(ret < c[i]) __填空(2)__;
	return ret;
}

void update(int x,int k){ // 从 x 未知开始，刷新所有管理单元的信息（树状数组单元里存的是最大值）
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
		if(c[i]<k) __填空(3)__;
		else __填空(4)__;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);

	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i].num);
		a[i].pos = i;
	}
	sort(a+1,a+1+n);

	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i] = __填空(5)__;
		ans = max(ans,dp[i]);
		update(__填空(6)__);
	}

	cout<<ans;

	return 0;
}

填空(1):{{ input(1) }}

填空(2):{{ input(2) }}

填空(3):{{ input(3) }}

填空(4):{{ input(4) }}

填空(5):{{ input(5) }}

填空(6):{{ input(6) }}