一、机器数和真值

1. 机器数

机器数是一个数在计算机中的二进制表示形式。

机器数带符号，最高位为符号位，正数为 0，负数为 1 。

十进制数 +3，计算机字长为 8 位的话，转换二进制为 00000011

十进制数 -3，计算机字长为 8 位的话，转换二进制为 10000011

上述这两个二进制就是机器数。

2. 真值

由于符号位的存在，机器数不等于真值。

带符号的机器数，真正的数值。

-3 是真值，它的机器数是 10000011（其形式值为 131（十进制））

二、数的原码、补码和反码表示

1. 原码

原码是符号位加上真值的绝对值，即第一位为符号位，其余位表示值。

十进制数 +1 原码为 00000001

十进制数 -1 原码为 10000001

因为第一位是符号位，所以8位二进制的取值范围为：

[11111111,01111111]，即 [-127,127]

原码是人脑最容易理解和计算的编码方式。

无符号数用原码。

2. 反码

正数的反码是其本身。

负数的反码是其原码基础上，符号位不变，其余各位取反。

${[+1]}_反$ = ${[00000001]}_原$ = ${[00000001]}_反$

${[-1]}_反$ = ${[10000001]}_原$ 除符号位之外取反 = ${[11111110]}_反$

反码不容易被人脑直接看出真值，通常需要转换成原码

3. 补码

正数的补码是其本身。

负数的补码是其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后 +1。

${[+1]}_补$ = ${[00000001]}_原$ = ${[00000001]}_反$ = ${[00000001]}_补$

$[-1]_补$ = ${[10000001]}_原$ 取反 + 1 = ${[11111110]}_反$ +1 = ${[11111111]}_补$

补码不容易被人脑直接看出真值，通常需要转换成原码

数值在计算机中是以补码的方式存储的。之所以采用补码而不是原码，是因为在加减乘除运算过程中，补码的运算更加简单、快捷。反过来说，例如，加减法运算，如果基于原码进行运算，是比较复杂的，要分很多情况，5+3，5-3，-5-3，-5+3 .......很多种情况，处理的逻辑不太一样。但是，如果把数字以补码形式来存放之后，就可以基于补码直接运算，情况分类要少很多。因为，加减法运算都是在 CPU 里面基于集成电路实现的，越简单越有利于 CPU 的快速运算，所以，计算机都采用了补码的方式存放和运算数据。

下面举一个例子：计算 5-3，计算机为了简化计算的逻辑，会把减法运算转化成加法，所以，5-3 = 5+（-3）

5 的补码是 ：00000101 -3 的补码是：11111101

上面两个补码连同符号位直接相加，得到 00000010 （最高位有溢出，不管），就是十进制的 2 。我们都知道 5-3 的确等于 2 。大家还可以自己构造更多的例子来加以验证。

三、数的顶点表示和浮点表示

在计算机中小数点一般有两种表示法：一种是小数点固定在某一位置的定点表示法；另外一种是小数点的位置可以任意移动的浮点表示法。相应于这两种表示的计算机分别称为顶点计算机和浮点计算机。

1. 定点表示法（略略知道就可以了）

机器中所有数的小数点位置是固定不变的。因而小数点就不必使用记号表示出来。实际上，小数点可固定在任意一个位置上。

2. 浮点表示法（这是考试重点）

在数的顶点表示法中，由于数的表示范围较狭窄常常不能满足各种数值问题的需要。为了扩大数的表示范围，方便用户试用，计算机常采用浮点表示法。表示一个浮点数，要用两部分：尾数和阶码。尾数用以表示数的有效数值；阶码用于表示小数点在改数中的位置。

计算机多数情况下采用浮点数表示数值，它与科学计数法相似，把一个二进制数通过移动小数点位置表示成阶码和尾数两部分。

$N=2^E \times S$

其中 $E$ 是 $N$ 的阶码，是有符号的整数。$S$ 是 $N$ 的尾数，是数值的有效数字部分，一般规定取二进制顶点纯小数形式。

例：

$(1011101)_2$ = $2^7 \times 0.1011101_2$

$(101.1101)_2$ = $2^3 \times 0.1011101_2$

$(0.01011101)_2$ = $2^{-1} \times 0.1011101_2$